Правило куба суммы и куба разности

Статьи по естественным наукам и математике

Куб суммы двух выражений равен сумме кубов этих выражений, сложенной с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе и утроенным произведением квадрата второго выражения на первое.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Здесь (a + b) 3 — куб суммы, a 3 + b 3 — сумма кубов, 3a 2 b — утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, 3ab 2 — утроенное произведение квадрата второго выражения на первое.

Вывести эту формулу можно путем умножения многочленов:

(a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Куб разности двух выражений равен разности кубов этих выражений минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе и плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое.

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 .

Вывести эту формулу можно путем умножения многочленов:

(a – b) 3 = (a – b) 2 (a – b) = (a 2 – 2ab + b 2 )(a – b) = a 3 – a 2 b – 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 .

Обратите внимание, что минус там, где b в нечетной степени.

scienceland.info

Урок математики по теме «Формулы куба суммы и куба разности»

Цели:

закрепить умения и навыки учащихся по данной теме;

развитие умений преодолевать трудности при решении тождеств с использованием формул сокращенного умножения;

воспитание у учащихся настойчивости, целеустремленности в учебе.

Ход урока.

I. Орг. момент.

II. Мотивация урока.

Формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике. Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений.

Наша цель – систематизировать знания по теме «Формулы сокращенного умножения», показать знание этих формул и умение применять их в различных математических ситуациях.

III. Актуализация опорных знаний.

Проверка словесной формулировки формул сокращенного умножения.

1. Квадрат суммы двух выражений равен.

Квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

2. Квадрат разности двух выражений равен.

Квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

3. Разность квадратов двух выражений равна.

Произведению разности этих выражений и их суммы.

4. Куб суммы двух выражений равен.

Кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

5. Куб разности двух выражений равен.

Кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Работа в парах. У каждой пары имеется лист с заданием. Установите принцип соответствия и заполните таблицу.

videouroki.net

Куб разности и разность кубов: правила применения формул сокращенного умножения

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)? = a? + 2ас + с?.

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)? = а? — 2ас + с?.

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a? — с? = (a + с)·(a – с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)? = а? + 3а?с + 3ас? + с?.

Сумма кубов

Согласно формуле, сумма кубов приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а? + с? = (а + с)·( а? — ас + с?).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)? = а? — 3а?с + 3ас? — с?.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 – с 3 = (а – с)(а 2 + ас + с 2 ).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

fb.ru

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 ? b 2 = (a ? b)(a + b)

  • 15 2 ? 2 2 = (15 ? 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
  • 9a 2 ? 4b 2 с 2 = (3a ? 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

  • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
    112 = 100 + 1
  • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
    112 2 = (100 + 12) 2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы:
    112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

  • (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a ? b) 2 = a 2 ? 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a ? b) 2 = a 2 ?2ab + b 2 = b 2 ? 2ab + a 2 = (b ? a) 2

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

  • Выучите, что в начале идёт « a 3 ».
  • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
  • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени « a » и увеличение степени « b ». В этом можно убедиться:
    (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a ? b) 3 = a 3 ? 3a 2 b + 3ab 2 ? b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « ? ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « ? », затем опять « + » и т.д.

(a ? b) 3 = + a 3 ? 3a 2 b + 3ab 2 ? b 3 = a 3 ? 3a 2 b + 3ab 2 ? b 3

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ? ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

  • Первая скобка — сумма двух чисел.
  • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
    (a 2 ? ab + b 2 )
    Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 ? b 3 = (a ? b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

  • a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
  • (aс ? 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 ? 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

math-prosto.ru

Открытый урок «Куб суммы и разности двух выражений»

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Алгебра 7 класс Урок №

Тема урока: Куб суммы и разности двух выражений

Организ ация деятельност и учащихся по усвоению:

знаний понятий: формул сокращённого умножения ;

умений применять их при возведении в квадрат и куб суммы или разности двух выражений;

навыков работы с выражениями.

Ознакомление учащихся с формулами куба суммы и разности двух выражений.

Образовательная: формировать знания учащихся о формулах сокращенного умножения: куб суммы и разности двух выражений, повторить ранее изученные формулы сокращенного умножения, применение их при раскрытии скобок;

Развивающая: развивать математическую речь при чтении формул, мышление при анализе нового материала;

Воспитательная: воспитание дисциплинированности, умение оценивать свою работу.

I Организационный момент

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В путешествие отправимся смело,

В мир примеров и разных задач

Эта история произошла давным – давно. В древнем городе жил добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на луг, поймал бабочку, сжал между сомкнутыми ладонями и подумал: « Спрошу – ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет, что живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал. Поймал бабочку, посадил между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка живая или мертвая»? Мудрец ответил: «Всё в твоих руках!»

Как часто, ребята, нам кажется, что ничего не понимаю, ничего не знаю, ничего не решу! Но я хочу повторить слова мудреца «все в твоих руках». Пусть эти слова будут девизом нашего урока.

III Актуализация знаний

Фронтальная работа с классом

Найдите квадраты выражений с; -8; 5а; 6х 2 ; у 3 ; ху

Найдите произведение: 2х и 6с; 5у и 2х; 4а и 3у; 2х 2 и 3х

5у+2х — возведите в куб второе выражение

— возведите в квадрат первое выражение

-найдите удвоенное(утроенное) произведение первого и второго

Используя термины «разность», «сумма», «квадрат», «куб» прочитать выражения: с+у; (х+а) 2 , х-у, (с-а) 3 , с 2 +х 2 , у 2 -х 2

— к каким выражениям можем применить формулы сокращенного умножения

Работа в парах: Восстановить формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

IV Изучение нового материала

— Приступаем к изучению новых формул

— Зная формулы квадрата суммы и квадрата разности, нетрудно вывести формулы куба суммы и куба разности.

-Что означает третья степень

Ученик должен дописать её до конца, т.е.

Данное тождество называют формулой куба суммы.

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Учитель: аналогично можно получить, что (выводят самостоятельно)

Данное тождество называют формулой куба разности.

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Пример: (2х+3у) 3 =(2х) 3 +3•(2х) 2 •3у+3•2х•(3у) 2 +(3у) 3 =8х 3 +36х 2 у+54ху 2 +27у 3

Задание 1. Выполните возведение в куб

infourok.ru