Формула 2 закона ньютона имеет вид

Формула 2 закона ньютона имеет вид

Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета .

Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила а также способы их измерения. Первая из этих величин – масса – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:

Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенн силам:

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики:

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 . Эта единица называется ньютоном (Н) . Ее принимают в СИ за эталон силы (см. §1.7):

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил :

physics.ru

Формула 2 закона ньютона имеет вид

Сила упругости \(F = -kx;\)

Сила гравитационного притяжения \(F = — G\large\frac<<>><<>>\normalsize.\)

Движение тела массой \(m\) (груза на пружинке) под действием силы упругости будет определяться дифференциальным уравнением \[m\frac<<x>><>> = — kx\;\;\text<или>\;\;\frac<<x>><>> + \fracx = 0.\] Это уравнение описывает незатухающие периодические колебания с периодом \[T = 2\pi \sqrt <\frac> .\] В случае гравитационного притяжения движение тела описывается нелинейным дифференциальным уравнением \[\frac<<x>><>> = — G\frac<<>>,\] где \(M\) ? масса притягивающего тела (например, масса Земли или Солнца), \(G\) ? универсальная гравитационная постоянная.

падение тела в поле тяжести без учета сопротивления воздуха (синяя кривая \(1\)). В этом случае зависимость \(T\left( H \right)\) определяется формулой \(T = \sqrt <\large\frac<<2H>>\normalsize> ;\)

точное решение нелинейного алгебраического уравнения для \(T\) (зеленая кривая \(2\)).

Из этих графиков видно, что сила сопротивления воздуха практически компенсирует силу тяжести уже через несколько секунд после начала падения. После этого движение тела происходит равномерно. Поэтому при падении с большой высоты (в данном примере это более \(20\;\text<м>\)) для оценки времени падения вполне можно использовать приближенную формулу \(T\left( H \right).\)

силой тяжести \(P = \large\frac<>\normalsize,\) где \(x\) ? длина части цепочки, свисающей со стола, \(m\) ? масса цепочки, \(L\) ? ее длина, \(g\) ? ускорение свободного падения;

силой трения \(>> = — \mu mg\large\frac<>\normalsize,\) где \(\mu\) ? коэффициент трения. Сила трения действует лишь на часть цепочки, лежащую на столе. Длина этой части равна \(L — x.\)

Согласно второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения цепочки имеет вид: \[ x>><>> = P — >>,>\;\; <\Rightarrow m\frac<<x>><>> = mg\frac— \mu mg\frac<>,>\;\; <\Rightarrow \frac<<x>><>> = g\frac— \mu g\frac<>,>\;\; <\Rightarrow \frac<<x>><>> — \frac <<\left( <1 + \mu >\right)g>>x = — \mu g.> \] Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Найдем решение этого уравнения. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение: \[\frac<<x>><>> — \frac <<\left( <1 + \mu >\right)g>>x = 0.\] Корни характеристического уравнения имеют следующие значения: \[ — \frac <<\left( <1 + \mu >\right)g>>= 0,\;\; \Rightarrow > = \pm \sqrt <\frac<<\left( <1 + \mu >\right)g>>> .\] Тогда общее решение однородного уравнения записывается как \[ = \right)g>>\normalsize> t>> + \right)g>>\normalsize> t>>.\] Постоянные \(, \) мы определим позже из начальных условий.

www.math24.ru

Формула 2 закона ньютона имеет вид

Третий закон Ньютона определение:

т.е. действие и противодействие, в этом суть третьего закона Ньютона.

Формула третьего закона Ньютона

Какая формула правильно отражает смысл третьего закона Ньютона?

Формула 3 закона Ньютона имеет вид какой? Очень простой.

Третий закон Ньютона формула:

Рассмотрим подробнее формулу третьего закона Ньютона. Что здесь чем является?

Пусть дано тело, на него действует силой F1 другое тело, при этом первое тело будет действовать на другое тело с равной и противоположной по направлению силой F2 .

Действие и противодействие – третий закон Ньютона

Формулировка третьего закона Ньютона говорит о взаимодействии тел.

Если одно тело действует на другое, то и другое обязательно действует на первое тело. Это и есть суть третьего закона Ньютона.

www.sbp-program.ru

Второй закон Ньютона связывает вместе три, на первый взгляд, совершенно не связанные друг с другом величины: ускорение, массу и силу. Хотите легко и быстро, на примерах понять, как это происходит? Запросто. Надо будет проделать пару элементарных опытов и немного порассуждать.

Элементарный опыт по второму закону Ньютона

Начнем с практической части. Нагрузите чем-нибудь две сумки или два пакета. Один чуть-чуть, а второй очень сильно. Только пакеты берите покрепче. А теперь примерно с одинаковой силой по очереди резко поднимите оба пакета вверх. Вы увидите, что легкий пакет практически взлетит, а вот тяжелый перемещаться будет намного медленнее.

А теперь другой опыт положите на землю футбольный мячик и пните его пару раз. Один раз легонько, а второй раз со всей силы. Понаблюдайте, как изменится скорость мяча после пинка. В первом случае он потихоньку откатится на небольшое расстояние, во втором улетит далеко и на весьма приличной скорости. Ну вот и все, с практической частью закончили. Теперь немного порассуждаем.

Действие равнодействующей силы

Мы знаем, что скорость тела изменяется под действием приложенной к нему силы. Если на тело действуют несколько сил, то находят равнодействующую этих сил, то есть некую общую суммарную силу, обладающую определенным направлением и числовым значением.

То есть, фактически, все случаи приложения различных сил в конкретный момент времени можно свести к действию одной равнодействующей силы. Таким образом, чтобы найти, как изменилась скорость тела, нам надо знать, какая сила действует на тело.

В зависимости от величины и направления силы тело получит то или иное ускорение. Это четко видно в опыте с мячом. Когда мы подействовали на тело небольшой силой, мяч ускорился не очень сильно. Когда же сила воздействия увеличилась, то мяч приобрел гораздо большее ускорение. То есть, ускорение связано с приложенной силой прямо пропорционально. Чем больше сила воздействия, тем большее ускорение приобретает тело.

От чего еще зависит ускорение, полученное телом в результате воздействия на него? Вспомним первую часть нашего опыта. Ускорение двух грузов у нас было ощутимо разным, хотя силу мы старались прикладывать одинаковую. А вот масса грузов у нас отличалась. И в случае с большей массой ускорение тела было небольшим, а в случае меньшей массы намного большим.

То есть, второй вывод это то, что масса тела напрямую связана с ускорением, приобретаемым телом в результате воздействия силы. При этом, масса тела обратно пропорциональна полученному ускорению. Чем больше масса, тем меньше будет величина ускорения.

Второй Закон Ньютона: формула и определение

Исходя из всего вышесказанного, приходим к тому, что можно записать второй закон Ньютона в виде следующей формулы:

где a ускорение, F сила воздействия, m масса тела.

Соответственно, второму закону Ньютона можно дать такое определение: ускорение, приобретаемое телом в результате воздействия на него, прямо пропорционально силе или равнодействующей сил этого воздействия и обратно пропорционально массе тела. Это и есть второй закон Ньютона.

Не правда ли, все оказалось довольно просто и понятно?

www.nado5.ru

Формула 2 закона ньютона имеет вид

Эта формула имеет вид

Здесь — непрерывная на отрезке функция, а — какая-либо ее первообразная на этом отрезке.

Формула Ньютона – Лейбница была уже доказана в § 6.1. Там предполагалось известным, что непрерывная на функция интегрируема и имеет первообразную на .

Теперь мы уже знаем из § 6.3, что интегрируемость непрерывной на функции влечет за собой существование у нее первообразной на .

Приведем другое доказательство формулы Ньютона – Лейбница. Вернемся к функции

Кроме того, мы знаем, что есть первообразная для на . Поэтому, если есть какая-либо, вообще другая, первообразная, то существует константа такая, что

Из (2), (3), (4) получим

и мы доказали формулу (1).

Это показывает, что площадь (рис. 78) заштрихованной фигуры, лежащей под параболой , равна .

Таким образом, площадь фигуры (рис. 79), ограниченной сверху синусоидой и снизу – осью , равна 2.

П р и м е р 3. Функция

непрерывна на отрезке , за исключением точки . Отрезок можно разрезать на два отрезка , , где она монотонна, следовательно, интегрируема. Поэтому интегрируема на . Справедлива формула

В самом деле, на полуинтервале функция непрерывна: . Ее первообразная на этом полуинтервале равна . Поэтому, применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

В силу теоремы 1 непрерывна, в частности, в точке , поэтому

Из (6), (7), (8) следует (5).

Более элегантная формула получится, если интегрировать от точки :

Под интегралом в (9) стоит разрывная в точке ограниченная функция, интеграл как функция верхнего предела , есть непрерывная функция, в том числе и в точке , что согласуется с теоремой 1 § 6.3. Однако производная не существует, и это не противоречит теореме 2 § 6.3, которая гарантирует существование производной , только если непрерывна в точке .

Т е о р е м а 1 (о замене переменной). Имеет место равенство

где функция непрерывно дифференцируема на , и непрерывна на — образе отрезка при помощи функции .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и — первообразные функции соответственно и . Тогда (см. § 5.2, (1) и ниже) справедливо тождество , , где — некоторая постоянная. Поэтому

Но на основании формулы Ньютона – Лейбница левая часть (11) равна левой части (10), а правая часть (11) – правой части (10), а это доказывает формулу (10).

З а м е ч а н и е. Верхний предел интегрирования по можно взять равным , а результат будет тот же, и это согласуется с теоремой 1.

потому что в полученном интеграле нижний предел равен верхнему.

П р и м е р 6. Если — четная функция , то

П р и м е р 7. Если — нечетная функция , то

П р и м е р 8. Если — периодическая функция периода , то

П р и м е р 10. Решим пример 5, используя примеры 8, 7:

так как функция нечетная.

Т е о р е м а 2. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

где и — непрерывно дифференцируемые на функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведение имеет на непрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона – Лейбница

откуда следует (12).

Т е о р е м а 3 (о среднем для определенного интеграла). Для непрерывной на отрезке функции существует точка такая, что

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как непрерывна, то для нее существует первообразная , поэтому

Первое равенство в (14) есть формула Ньютона-Лейбница для непрерывной на функции . Второе равенство есть формула Лагранжа для . Наконец третье следует из того, что .

sernam.ru