Закон движения частиц

Броуновское движение: определение. Броуновское движение — что это такое?

Сегодня мы подробно рассмотрим важную тему — дадим определение броуновскому движению маленьких кусочков материи в жидкости или газе.

Некоторые школьники, замученные скучными уроками, не понимают, зачем изучать физику. А между тем, именно эта наука когда-то позволила открыть Америку!

Начнем издалека. Древним цивилизациям Средиземноморья в каком-то смысле повезло: они развивались на берегу закрытого внутреннего водоема. Средиземное море потому так и называется, что оно со всех сторон окружено сушей. И древние путешественники могли довольно далеко продвинуться со своей экспедицией, не теряя из вида берегов. Очертания суши помогали ориентироваться. И первые карты составлялись скорее описательно, чем географически. Благодаря этим относительно недалеким плаваниям греки, финикийцы и египтяне хорошо научились строить корабли. А где лучшее оборудование – там и стремление раздвинуть границы своего мира.

Поэтому в один прекрасный день европейские державы решили выйти в океан. Во время плавания по бескрайним просторам между материками моряки долгие месяцы видели только воду, и им надо было как-то ориентироваться. Определить свои координаты помогло изобретение точных часов и качественного компаса.

Изобретение маленьких ручных хронометров очень выручило мореплавателей. Чтобы точно определить, где они находятся, им надо было иметь простейший инструмент, который измерял высоту солнца над горизонтом, и знать, когда именно полдень. А благодаря компасу капитаны судов знали, куда они направляются. И часы, и свойства магнитной стрелки изучали и создавали физики. Благодаря этому европейцам был открыт весь мир.

Новые континенты представляли собой terra incognita, неизведанные земли. На них росли странные растения и водились непонятные животные.

Все естествоиспытатели цивилизованного мира ринулись изучать эти новые странные экологические системы. И конечно же, они стремились извлечь из них выгоду.

Роберт Броун был английским ботаником. Он совершал поездки в Австралию и на Тасманию, собирал там коллекции растений. Уже дома, в Англии, он много работал над описанием и классификацией привезенного материала. И ученый этот был очень дотошным. Однажды, наблюдая за движением пыльцы в соке растений, он заметил: мелкие частицы постоянно совершают хаотические зигзагообразные перемещения. В этом и состоит определение броуновского движения мелких элементов в газах и жидкостях. Благодаря открытию потрясающий ботаник вписал свое имя в историю физики!

В европейской науке так принято: называть эффект или явление именем того, кто его обнаружил. Но часто это бывает случайно. А вот человек, который описывает, открывает важность или более подробно исследует физический закон, оказывается в тени. Так случилось и с французом Луи Жоржем Гуи. Именно он дал определение броуновскому движению (7 класс о нем точно не слышит, когда изучает эту тему по физике).

Исследования Гуи и свойства броуновского движения

Французский экспериментатор Луи Жорж Гуи наблюдал движение разного типа частиц в нескольких жидкостях, в том числе и в растворах. Наука того времени уже умела точно определять размер кусочков вещества до десятых долей микрометра. Исследуя, что такое броуновское движение (определение в физике этому явлению дал именно Гуи), ученый понял: интенсивность перемещения частиц увеличивается, если их поместить в менее вязкую среду. Будучи экспериментатором широкого спектра, он подвергал взвесь действию света и электромагнитных полей различной мощности. Ученый выяснил, что эти факторы никак не влияют на хаотические зигзагообразные скачки частиц. Гуи однозначно показал, что доказывает броуновское движение: тепловое перемещение молекул жидкости или газа.

А теперь подробнее опишем механизм зигзагообразных скачков небольших кусочков материи в жидкости.

Любое вещество состоит из атомов или молекул. Эти элементы мира очень маленькие, ни один оптический микроскоп не способен их увидеть. В жидкости они все время колеблются и перемещаются. Когда любая видимая частица попадает в раствор, ее масса в тысячи раз больше одного атома. Броуновское движение молекул жидкости совершается хаотически. Но тем не менее все атомы или молекулы представляют собой коллектив, они связаны друг с другом, как люди, которые взялись за руки. Поэтому иногда так случается, что атомы жидкости с одной стороны частицы движутся так, что «давят» на нее, при этом с другой стороны от частицы создается менее плотная среда. Поэтому пылинка перемещается в пространстве раствора. В другом месте коллективное движение молекул жидкости случайно действует на другую сторону более массивного компонента. Именно так и совершается броуновское движение частиц.

Если вещество обладает ненулевой температурой, его атомы совершают тепловые колебания. Поэтому даже в очень холодной или переохлажденной жидкости существует броуновское движение. Эти хаотические перескоки маленьких взвешенных частиц никогда не прекращаются.

Альберт Эйнштейн, пожалуй, самый знаменитый ученый двадцатого века. Всем, кто хоть сколько-нибудь интересуется физикой, известна формула E = mc 2 . Также многие могут вспомнить о фотоэффекте, за который ему дали Нобелевскую премию, и о специальной теории относительности. Но мало кто знает, что Эйнштейн разработал формулу для броуновского движения.

На основании молекулярно-кинетической теории ученый вывел коэффициент диффузии взвешенных частиц в жидкости. И произошло это в 1905 году. Формула выглядит так:

D = (R * T) / (6 * NA * a * ? * ?),

где D – искомый коэффициент, R – это универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура (выражается в Кельвинах), NA — постоянная Авогадро (соответствует одному молю вещества, или примерно 10 23 молекул), a — приблизительный средний радиус частиц, ? — динамическая вязкость жидкости или раствора.

А уже в 1908 году французский физик Жан Перрен со своими студентами экспериментально доказали верность вычислений Эйнштейна.

Выше мы описывали коллективное воздействие среды на много частиц. Но и один чужеродный элемент в жидкости может дать некоторые закономерности и зависимости. Например, если наблюдать за броуновской частицей долгое время, то можно зафиксировать все ее перемещения. И из этого хаоса возникнет стройная система. Среднее продвижение броуновской частицы вдоль какого-то одного направления пропорционально времени.

При экспериментах над частицей в жидкости были уточнены следующие величины:

  • постоянная Больцмана;
  • число Авогадро.

Помимо линейного движения, броуновской частице также свойственно хаотическое вращение. И среднее угловое смещение также пропорционально времени наблюдения.

После таких рассуждений может возникнуть закономерный вопрос: почему этот эффект не наблюдается для больших тел? Потому что когда протяженность погруженного в жидкость объекта больше определенной величины, то все эти случайные коллективные «толчки» молекул превращаются в постоянное давление, так как усредняются. И на тело уже действует общая выталкивающая сила Архимеда. Таким образом, большой кусок железа тонет, а металлическая пыль плавает в воде.

Размер частиц, на примере которых выявляется флуктуация молекул жидкости, не должен превышать 5 микрометров. Что касается объектов с большими размерами, то здесь этот эффект заметен не будет.

fb.ru

Формулы (1) предыдущего параграфа вместе с уравнениями (2), выражающими закон их изменения, служат основой для рассмотрения любых задач релятивистской механики. Вместо этих формул можно использовать две другие формулы, которые получаются из них исключением скорости

и почленным делением формул (1) § 4:

Связь энергии и импульса. Соотношение (1) устанавливает связь между энергией и импульсом частицы в релятивистской механике. Энергия и импульс частицы зависят от системы отсчета. Но правая часть в (1) представляет собой релятивистский инвариант. Это значит, что и стоящая в левой части комбинация изменяющихся при переходе от одной системы отсчета к другой энергии и импульса остается при таком переходе неизменной.

Для ультрарелятивистских частиц, энергия Е которых много больше энергии покоя соотношение (1) можно приближенно переписать в виде

Формула (2) выражает скорость релятивистской частицы через ее энергию и импульс. В отличие от формул (1) § 4 эти формулы не теряют смысла даже при и поэтому пригодны для всех без исключения релятивистских объектов. Часто они оказываются более удобными и в практических приложениях.

Движение под действием постоянной силы. В качестве первого примера рассмотрим движение первоначально покоившейся частицы с зарядом и массой покоя в однородном электрическом поле напряженности Е. Действующая на частицу сила постоянна и равна . Поэтому из закона изменения импульса немедленно следует, что

Рис. 13. Скорость частицы при движении в однородном электрическом поле

Подставляя это выражение для импульса частицы в формулу (1), получим

Теперь с помощью (2) находим скорость частицы спустя промежуток времени после начала движения:

Если т. е. электрическое поле слабое или мало время движения, то в подкоренном выражении в (6) можно пренебречь вторым слагаемым, и для скорости получается обычное нерелятивистское выражение:

Если то под корнем в (6) можно пренебречь единицей по сравнению со вторым слагаемым. Видно, что при этом скорость стремится к с. На рис. 13 показана зависимость скорости от времени.

Движение в магнитном поле. Перейдем к рассмотрению движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Поскольку действующая на частицу со стороны магнитного поля сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то скорость не меняется по модулю и, следовательно, не меняется и релятивистская масса частицы . Поэтому закон изменения импульса частицы запишется в виде

Если скорость перпендикулярна вектору индукции магнитного поля В, то частица движется по окружности и ее ускорение равно где — радиус окружности. В этом случае уравнение (8) дает

Для угловой скорости обращения , связанной с линейной скоростью обычным соотношением с помощью (9) находим

Выражение (10) имеет такой же вид, как и нерелятивистская формула для угловой скорости обращения в магнитном поле, только в знаменателе стоит релятивистская масса частицы связанная с ее массой покоя соотношением

Ускоритель на встречных пучках. В качестве третьего примера рассмотрим ускоритель заряженных частиц на встречных пучках. Выясним, в чем преимущество таких ускорителей по сравнению с обычными ускорителями с неподвижной мишенью, и установим соответствие между кинетической энергией частицы в обычном ускорителе и эквивалентной энергией в ускорителе со встречными пучками.

Одной из важнейших характеристик ускорителя является та доля кинетической энергии разогнанных элементарных частиц, которая может быть использована для реакции образования новых частиц. В обычных ускорителях, когда частица-мишень неподвижна, требование сохранения импульса исключает возможность превращения всей кинетической энергии частицы-снаряда в энергетический эквивалент массы покоя новых частиц, образующихся при столкновении. В самом деле, до столкновения суммарный импульс снаряда и мишени отличен от нуля. Такой же суммарный импульс должен быть и после

столкновения. Поэтому образовавшиеся в результате столкновения частицы не могут находиться в покое и, следовательно, часть начальной кинетической энергии снаряда переходит в кинетическую энергию частиц после столкновения.

Однако если сталкивающиеся частицы с равными массами летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, то в результате неупругого удара вся кинетическая энергия налетающих частиц может быть использована для рождения новых частиц: поскольку начальный импульс системы равен нулю, то ничто не запрещает покоиться образовавшимся в результате столкновения частицам.

Оценим вначале «выигрыш» в энергии для простого случая столкновения одинаковых нерелятивистских частиц. Используя закон сохранения импульса, легко убедиться, что в этом случае при неподвижной мишени для реакции образования новых частиц может быть использована только половина кинетической энергии налетающей частицы Если же столкнутся движущиеся навстречу друг другу частицы с кинетическими энергиями то для реакции может быть использована вся их кинетическая энергия Таким образом, используя ускоритель, способный разогнать частицы до кинетической энергии мы можем с помощью накопительных колец повысить эффективность использования кинетической энергии в четыре раза.

Идея устройства накопительных колец показана на рис. 14. Пучок частиц из ускорителя с помощью быстродействующего магнита-переключателя А разделяется на два пучка, каждый из которых с помощью системы отклоняющих магнитов А и Б направляется в свое кольцо, где обращается по орбите благодаря удерживающему магнитному полю, перпендикулярному плоскости рисунка. На общем участке происходят столкновения движущихся навстречу друг другу частиц.

Рис. 14 Накопительные кольца

Итак, в нерелятивистском случае неупругого столкновения частиц одинаковой массы, одна из которых покоится, т. е. при использовании неподвижной мишени, только половина первоначальной энергии может перейти в энергию покоя рождающихся частиц. А как обстоит дело в случае релятивистских частиц, с которыми имеет дело физика высоких энергий? Оказывается, что для неподвижной мишени дело обстоит еще хуже. Чтобы убедиться в этом, придется тщательно рассмотреть законы сохранения энергии и импульса при столкновении релятивистских частиц.

Рассмотрим неупругое столкновение релятивистской частицы с массой покоя с такой же покоящейся частицей.

Будем искать энергию которая может быть использована для образования новых частиц в этом случае. Обозначим через полную массу покоя системы после столкновения. Тогда есть не что иное, как увеличение энергии покоя частиц, которое произошло в рассматриваемом столкновении:

Найдем теперь — массу покоя частиц системы после столкновения. Применим к столкновению законы сохранения энергии и импульса. Из формулы (1) выразим квадрат импульса любой частицы через ее полную энергию Е:

Полная энергия релятивистской частицы Е есть сумма энергии покоя частицы и ее кинетической энергии:

Энергия, которой характеризуют ускорители, — это кинетическая энергия разогнанных частиц Учитывая, что до столкновения одна из частиц покоилась запишем квадрат импульса всей системы до удара равный квадрату импульса налетающей частицы в виде

Согласно закону сохранения энергии полная энергия системы после столкновения Е такая же, как и до столкновения, т. е. равна сумме энергий покоя обеих частиц и кинетической энергии налетающей частицы:

Запишем теперь квадрат импульса системы после столкновения с помощью (12) и (15):

Полный импульс системы до удара (14) и после удара (16) обозначены одной и той же буквой Р, так как полный импульс системы сохраняется. Приравнивая правые части равенств (14) и (16), после простых преобразований находим

Теперь для в (11) получим

Легко видеть, что для нерелятивистской частицы, кинетическая энергия которой много меньше энергии покоя выражение (18) дает результат, полученный ранее элементарным путем: Для этого достаточно воспользоваться приближенной формулой

В противоположном ультрарелятивистском случае, когда кинетическая энергия частицы много больше энергии покоя: в формуле (18) можно пренебречь единицами по сравнению с Тогда выражение (18) принимает вид

Если, например, мы хотим иметь ГэВ при столкновении протонов (энергия покоя протона ГэВ), то с помощью формулы (19) убеждаемся, что необходим ускоритель, разгоняющий протоны до энергии ГэВ. Таким образом, в рассматриваемом примере может быть использована только десятая часть кинетической энергии протона (а не половина, как было бы в нерелятивистском случае).

Итак, из-за релятивистских эффектов доля кинетической энергии разогнанных частиц, которая может быть использована для реакции, у ускорителей с неподвижной мишенью падает с ростом энергии. В ускорителе же на встречных пучках и в релятивистском случае вся кинетическая энергия сталкивающихся частиц может перейти в энергию покоя рождающихся частиц.

Интересно получить соотношение, связывающее кинетические энергии частиц в ускорителе обычного типа и в ускорителе на встречных пучках при которых получается одна и та же энергия способная превратиться в энергию покоя рождающихся частиц. В ускорителе на встречных пучках ускорителе с неподвижной мишенью определяется формулой (18). Подставляя в нее находим

В ультрарелятивистском случае, когда эта формула принимает вид

Из приведенных формул видно, что выигрыш при использовании ускорителей на встречных пучках особенно велик для легких частиц, например электронов, для которых МэВ. Так, для установки со встречными пучками, ускоряющей электроны до энергии МэВ, энергия эквивалентного ускорителя с неподвижной мишенью составляет, согласно формуле (21), примерно 70 ГэВ, т. е. в 520 раз больше!

• При каких условиях энергия частицы пропорциональна импульсу?

• Покажите, что при ускорении частицы под действием постоянной силы ее скорость стремится к конечному пределу.

• Почему в ускорителях, разгоняющих частицы до высоких энергий, период обращения в магнитном поле не остается постоянным?

• В чем заключается преимущество использования встречных пучков в физике высоких энергий?

lib.sernam.ru

Это дифференциальное уравнение, описывающее колебания заряда конденсатора. Введем обозначения:

Величину ? также как и в случае механических колебаний называют коэффициентом затухания, а ?0собственной циклической частотой колебаний.

С введенными обозначениями уравнение (3.45) примет вид

Уравнение (3.47) полностью совпадает с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора с вязким трением (формула (4.19) из раздела «Физические основы механики»). Решение этого уравнения описывает затухающие колебания вида

q(t) = q0e -bt cos(wt + j) (3.48)

где q0 – начальный заряд конденсатора, ? = – циклическая частота колебаний, ? – начальная фаза колебаний. На рис. 3.17 показан вид функции q(t). Такой же вид имеет и зависимость напряжения на конденсаторе от времени, так как UC = q/C.

(от лат. decrementum — уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания) — количественнаяхарактеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральныйлогарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту жесторону. T. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону (где постоянная величина — коэф. затухания) и два последующих наиб. отклонения в одну сторону X1 и X2(условно наз. «амплитудами» колебаний) разделены промежутком времени (условно наз. «периодом» колебаний), то , а Д. з. .

Так, напр., для механич. колебат. системы, состоящей из массы т, удерживаемой в положении равновесияпружиной с коэф. упругости k и испытывающей трение силой FT, пропорциональной скорости v(F Т =-bv, гдеb— коэф. пропорциональности), Д. з.

При малом затухании . Аналогично для электрич. контура, состоящего изиндуктивностиL, активного сопротивления R и ёмкости С, Д. з.

При малом затухании .

Для нелинейных систем закон затухания колебаний отличен от закона , т. е. отношение двухпоследующих «амплитуд» (и логарифм этого отношения) не остаётся постоянным; поэтому Д. з. не имееттакого определ. смысла, как для систем линейных.

Добро?тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. Обозначается символом от англ. quality factor.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

19. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс.

Вынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника. Внешним источником ЭДС в электрических цепях являются генераторы переменного тока, работающие на электростанциях.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону: При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила (1) С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение (2) При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение (3) Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению (4) Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями. Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (5) причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0 если механические колебания равно F0/m, в случае электромагнитных колебаний — Um/L). Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х0e i?t : (6) Частное решение данного уравнения будем искать в виде Подставляя выражение для s и его производных ( и ) в выражение (6), найдем (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит ?=?. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на (?0 2 — ? 2 — 2i??) Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: где (8) (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна (10) где А и ? определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно (11) Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения (12) и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ? и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ? .

studfiles.net

Несвободной называется материальная точка, на движение которой (координаты и скорость) наложены некоторые ограничения. Всякий механизм является примером несвободной системы материальных точек.

Связями называются ограничения движений материальных точек, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных сил. Связи делятся на двухсторонние и односторонние ( 1.физический маятник из твердого стержня; 2.математический маятник на нити).

Связи бывают голономные (интегрируемые) и неголономные (они накладывают ограничения на скорость точек, неинтегрируемые).

Связи, ограничивающие перемещения материальных точек, действуют на эти точки посредством сил, называемых силами реакции связей.

В задачах динамики несвободной материальной точки пользуются принципом освобождения от связей. Отбрасывая мысленно связи, включают силы реакций связей в число задаваемых сил. При этом несвободная материальная точка рассматривается как свободная, движущаяся под действием задаваемых сил и сил реакций связей.

Динамика системы частиц. Движение центра масс, закон сохранения импульса системы.

Центром масс (или центром инерции) механической системы называется воображаемая точка, которой приписывается масса всей системы и положение которой определяется радиусом-вектором:

Скорость и ускорение центра масс (ЦМ) можно получить дифференцированием предыдущей формулы по времени.

Импульсом механической системы называется сумма импульсов точек системы:

Из (*) следует, что (**)

Определим уравнения движения центра масс. Из (**) следует:

где по третьему закону Ньютона.

Отсюда получаем закон изменения импульса системы:

По аналогии со случаем одной частицы, можно утверждать, что если проекция силы не некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или проекция скорости центра масс системы на ту же ось сохраняется. Следовательно, в направлении этой оси центр масс движется равномерно.

В случае изолированной (замкнутой) системы материальных точек =0 (по определению). Отсюда следует, что

Мы получили закон сохранения импульса замкнутой системы.

Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, и внутренние силы не могут изменить скорости (импульса) системы.

Закон сохранения кинетического момента системы

Уравнение движения каждой материальной точки системы умножим слева векторно на радиус- вектор этой точки . Учитывая определения момента импульса и момента силы , получаем:

где называется кинетическим моментом системы;

Учитывая 3-й закон Ньютона, имеем:
Таким образом, получаем:

Закон изменения кинетического момента системы читается так:

Производная по времени кинетического момента системы равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему.

Если При помощи секторной скорости это же запишется так:

В случае замкнутой системы Мы получили закон сохранения кинетического момента замкнутой системы. Под действием внутренних сил кинетический момент замкнутой системы не изменяется.

Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц

Умножим уравнение движения материальной точки системы на ее элементарное перемещение , учтем деление сил на внутренние и внешние. Тогда изменение кинетической энергии частицы произойдет за счет работы как внутренних, так и внешних сил:

Для всех частиц системы ( в силу аддитивности энергии и работы):

Дифференциал (изменение) кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на частицы системы.

Представим потенциальную энергию системы в виде слагаемых:

где первое слагаемое обусловлено взаимодействием частиц системы между собой, а второе слагаемое -потенциальная энергия частиц во внешнем поле.

Полная механическая энергия системы равна:

В случае, когда частицы системы находятся в поле потенциальных сил, явно не зависящих от времени dU/dt=0.

С учетом этого условия, после умножения каждого уравнения движения каждой материальной точки системы на ее скорость и суммируя все эти уравнения, получим:

Это уравнение утверждает, что в замкнутой системе материальных точек, находящихся в стационарном потенциальном поле, в процессе движения сохраняется скалярная величина :

Такие системы называются консервативными.

Закон сохранения и превращения механической энергии является частным случаем всеобщего закона природы – закона сохранения и превращения энергии (ЗСПЭ).

Итак, мы имеем 7 уравнений, выражающих законы сохранения и изменения в механической системе:

При определенных условиях они приводят к законам сохранения. В случае замкнутой системы при отсутствии внутренних превращений механической энергии в другие виды энергии, законы сохранения дают 7 первых интегралов и 3 вторых интегралов движения:

т.е. десять классических интегралов механики.

Все законы сохранения были получены из уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике.

Сохранение импульса связано с однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого.

Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого.

Сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом «переносе» системы во времени.

Эта теорема утверждает, что кинетическая энергия механической системы может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии движения частиц относительно ее центра масс, т.е.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся известным соотношением (классическая теорема сложения скоростей):

Подставим это соотношение в формулу, определяющую кинетическую энергию системы:

Учитывая, что в СО «Центр масс» суммарный импульс (последнее слагаемое в предыдущей формуле) равен нулю, тотчас же получаем искомое выражение (*).

С помощью теоремы Кёнига полную механическую энергию системы материальных точек можно записать так:

где — внутренняя энергия системы.

Движение несвободной частицы. Силы реакции Несвободной называется материальная точка, на движение которой (координаты и скорость) наложены некоторые ограничения. Всякий механизм является примером несвободной системы материальных точек. С

stud-baza.ru

43. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Сохраняющиеся и изменяющиеся величины. Расчет радиуса и шага спирали.

На заряженную частицу в электростатическом поле действует кулоновская сила, которую можно найти, зная напряженность поля в данной точке: . Эта сила сообщает ускорение

где m — масса заряженной частицы. Как видно, направление ускорения будет совпадать с направлением , если заряд частицы положителен (q > 0), и будет противоположно , если заряд отрицателен (q

Движение частицы можно представить в виде суперпозиции равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью и движения по окружности с постоянной по модулю скоростью в плоскости, перпендикулярной полю.

Радиус окружности определяется аналогично предыдущему случаю, только надо заменить на , то есть

В результате сложения этих движений возникает движение по винтовой линии, ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы.

Если скорость заряженной частицы составляет угол ? с направлением вектора неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, т? R и h уменьшаются с ростом B. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.

Если на движущуюся заряженную частицу помимо магнитного поля с индукцией действует одновременно и электростатическое поле с напряженностью , то равнодействующая сила, приложенная к частице, равна векторной сумме электрической силы и силы Лоренца: . Характер движения и вид траектории зависят в данном случае от соотношения этих сил и от направления электростатического и магнитного полей.

malishev.info